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Primero calculamos el dominio de la función:
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
d) $f(x)=\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1}$
d) $f(x)=\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1}$
Respuesta
Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué.
Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$
$f(x)=\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1}$
Nuevamente tenemos una división con $x$ en el denominador. Para encontrar el dominio, vamos a tener que asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$x^{2}+1 \neq 0$
$x^{2} \neq -1$
De acá no podemos despejar $x$, es absurdo, ya que un cualquier número (distinto de cero) elevado a una exponente par da como resultado un número positivo. Así que el resultado es que no hay restricción del dominio de la función $f$. Es decir, que el dominio son todos los números reales.
El dominio de $f$ es $\text{Dom} f = \mathbb{R}$, o lo que es lo mismo, $(-\infty, +\infty)$.
💡 Mi recomendación es que de este ejercicio te lleves el cálculo del dominio. No te vuelvas loco/a con lo de la imagen.
Lo que podemos hacer para saber si -3 si pertenece a la imagen de la función, es buscar si hay algún valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezca al dominio de la función:
Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:
$\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1} = -3$
$-3 x^{2}=-3(x^{2}+1)$
$-3 x^{2}=-3x^{2}-3$
$-3 x^{2}+3x^{2} = -3$
$0 = -3$
Vemos que llegamos a una afirmación que es falsa, pues cero no es igual que -3, por lo tanto, decimos que no existen valores de $x$ en los números reales, que hagan que $f(x)= -3$.
Conclusión: $-3$ no pertenece a la imagen de la función. $-3 \notin \operatorname{Im} f$
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